國中數學動動腦小活動(活動已結束 頒發100GASH)

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題目為國中數學證明題

請勿用高中數學以上的過程去證明

必須用合理的證明過程去解題

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國三上= =的數學題目會考應該會有一題
討厭證明題~~~~

證明題阿,我喜歡
但太久沒寫有點生疏了
可能要花很多時間想了
(我會考證明題拿滿分^^,但那次沒算分XD

令線段AE, 線段BF之交點為G, 線段BD, 線段CE之交點為H

因為線段BF // 線段CE, 故角ABG=角BCH;

因為線段AE // 線段BD, 故角BAG=角CBH

三角形內角和為180度, 故角AGB=角BHC

所以三角形ABG及三角形BCH為相似三角形.

故  線段AG/線段BH =線段BG/線段CH… (1)

因為 線段BF // 線段CE, 故角GFE=角HED

因為 線段AE // 線段BD, 故角GEF=角HDE

三角形內角和為180度, 故角FGE=角EHD

所以三角形FGE及三角形EHD為相似三角形.

故  線段GF/線段HE = 線段GE/線段HD … (2)

因為  線段BF // 線段CE, 線段AE // 線段BD,

故BHEG為平行四邊形

所以角BGE=角BHE, 即角AGF=角CHD …(3)

補充:
因為角BGE+角AGB=180度, 且角AGB+角AGF=180度
故角BGE+角AGB=角AGB+角AGF => 角BGE=角AGF
因為角BHE+角BHC=180度, 且角BHC+角CHD=180度
故角BHE+角BHC=角BHC+角CHD => 角BHE=角CHD
故角AGF=角CHD

且  線段BG=線段HE, 線段BH=線段GE

故(1)式可改寫為  

線段AG/線段GE = 線段HE/線段CH

=> 線段AG*線段CH=線段HE*線段GE… (4)

(2)式可改寫為線段GF*線段HD=線段GE*線段HE… (5)

由(4), (5)可知

線段AG*線段CH=線段GE*線段HE=線段GF*線段HD

=> 線段AG*線段CH=線段GF*線段HD
=> 線段CH=(線段GF*線段HD)/線段AG   (等號兩邊同除線段AG, 線段AG長不為0, 故可除)
=> 線段HD/線段AG=線段CH/線段GF …(6)  (等號兩邊同除線段GF, 線段GF長不為0, 故可除)

由(3)式及(6)式可知, (式3證明角度AGF=DHC相等, 式6證明兩組邊成比例)

三角形AGF及三角形DHC為相似三角形 (SAS)

故角AFG=角HCD … (7)

角FAG=角HDC … (8)

綜合以上結果:

角AFE+角CDE

=角AFG+角GFE+角EDH+角HDC  (將角分解)

=角AFG+角GFE+角GEF+角FAG   (代入8式)

=角FAG+(角AFG+角GFE)+角GEF  (整理)

=180度 (三角形AFE內角和)

即角AFE與角CDE互補, 故 線段AF//線段CD

討厭證明題
果斷放棄XD

跑跑小流星 發表於 2015-2-26 21:41
令線段AE, 線段BF之交點為G, 線段BD, 線段CE之交點為H
因為線段BF // 線段CE, 故角ABG=角BCH;因為線段AE // ...

請明確的證明以下

AGF 及 DHC是如何相似 AA相似  SAS相似 還是?

由(4), (5)可知

線段AG*線段CH=線段GF*線段HD

=> 線段HD/線段AG=線段CH/線段GF …(6)

由(3)式及(6)式可知,

三角形AGF及三角形DHC為相似三角形

故角AFG=角HCD … (7)

角FAG=角HDC … (8)

說不能重新編輯, 只好再貼一次...

令線段AE, 線段BF之交點為G, 線段BD, 線段CE之交點為H

因為線段BF // 線段CE, 故角ABG=角BCH;
因為線段AE // 線段BD, 故角BAG=角CBH
三角形內角和為180度, 故角AGB=角BHC
所以三角形ABG及三角形BCH為相似三角形.
故  線段AG/線段BH =線段BG/線段CH… (1)


因為 線段BF // 線段CE, 故角GFE=角HED
因為 線段AE // 線段BD, 故角GEF=角HDE
三角形內角和為180度, 故角FGE=角EHD
所以三角形FGE及三角形EHD為相似三角形.
故  線段GF/線段HE = 線段GE/線段HD … (2)


因為  線段BF // 線段CE, 線段AE // 線段BD,
故BHEG為平行四邊形
所以角BGE=角BHE, 即角AGF=角CHD …(3)
補充:
因為角BGE+角AGB=180度, 且角AGB+角AGF=180度
故角BGE+角AGB=角AGB+角AGF => 角BGE=角AGF
因為角BHE+角BHC=180度, 且角BHC+角CHD=180度
故角BHE+角BHC=角BHC+角CHD => 角BHE=角CHD
故角AGF=角CHD

且  線段BG=線段HE, 線段BH=線段GE

故(1)式可改寫為  
線段AG/線段GE = 線段HE/線段CH
=> 線段AG*線段CH=線段HE*線段GE… (4)

(2)式可改寫為線段GF*線段HD=線段GE*線段HE… (5)

由(4), (5)可知
線段AG*線段CH=線段GE*線段HE=線段GF*線段HD
=> 線段AG*線段CH=線段GF*線段HD
=> 線段CH=(線段GF*線段HD)/線段AG   (等號兩邊同除線段AG, 線段AG長不為0, 故可除)
=> 線段HD/線段AG=線段CH/線段GF …(6)  (等號兩邊同除線段GF, 線段GF長不為0, 故可除)

(式3證明角度AGF=DHC相等, 式6證明兩組邊成比例)
由(3)式及(6)式可知
三角形AGF及三角形DHC為相似三角形 (SAS)
故角AFG=角HCD … (7)
角FAG=角HDC … (8)

綜合以上結果:
角AFE+角CDE
=角AFG+角GFE+角EDH+角HDC  (將角分解)
=角AFG+角GFE+角GEF+角FAG   (代入8式)
=角FAG+(角AFG+角GFE)+角GEF  (整理)
=180度 (三角形AFE內角和)

即角AFE與角CDE互補, 故 線段AF//線段CD

跑跑小流星 發表於 2015-2-26 23:18
說不能重新編輯, 只好再貼一次...

令線段AE, 線段BF之交點為G, 線段BD, 線段CE之交點為H

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跑跑小流星 發表於 2015-2-26 23:18
說不能重新編輯, 只好再貼一次...

令線段AE, 線段BF之交點為G, 線段BD, 線段CE之交點為H

不會哀怨啦XDD
我這邊題目很多
不過就是經費不夠
我累積多一點題目再一次發



本題正解  (話說連我同事都是用高中座標來解的)

以下是我的詳解

全是使用基本的  國中三角形相似性質

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re流星:  那有機會我蒐集一些難題再貼上來XD

我數學超不好的啦每次都考60分已 下...
這種證明題也是......